Random variable, Random process

 

 

 

Random experiment : Let's toss 2 coins.

Sample space S: {HH, HT, TH, TT} 실험의 결과로 나올 수 있는 모든 경우의 수. element 하나하나를 outcome

Event space Q[Subset of sample space] : \( \left\{\varnothing , \left\{ HH\right\}, \cdots, \left\{ HH, HT\right\} , \cdots, \left\{ HH, HT, TH, TT\right\} \right\} \)

- q1 event : The first toss is H {HH, HT}

- q2 event : At least one tail {HT, TH, TT}

...

위와 같이 event space에서 특정 event가 나오게 사건을 정의할 수 있다.

 

Probability measure P : event space에서 정의되는 function

• \(P(q_i) \geq  0\)
• \(P(Q) = 1\)
• \(p(q_i \cup  q_j) = P(q_i) + P(q_j)\)

 

 

Random variable

sample space element  -> real number

sample space s에서 정의되는 확률 P[ ]를 가지는 확률 실험과 sample space의 element 각각에 실수를 할당하는 함수로 이루어진다.

 

랜덤변수의 예시

A=내일 강수량

B=다음 한시간 동안 받게되는 전화통화 수

 

랜덤변수의 random characteristic에 따라서 pdf, pmf로 나타낼 수 있게 된다. 즉 pdf, pmf의 역할은 outcome을 probabilities로 mapping해준다.

 

Expectation 기댓값

pdf 혹은 pmf  즉 랜덤변수 X에 대한 확률 분포를 알면 random characteristic을 안다고 이야기할 수 있고 완벽한 Expectation값을 구할 수 있다. 그러나 완벽한 확률분포를 얻는 것은 사실 어려운 일이다. 

\(E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x)dx\)

Random process

랜덤 프로세스는 단순히 랜덤변수의 집합이다.

방금까지는 sample space의 개개인의 element를 어떤 실수로 mapping해주는 것이 랜덤변수였다면,

element를 "함수"로 mapping 해주는 것이 random process이다. 그 함수를 sample function이라고 일컫는다.

그러니 하나의 sample function은 실험의 결과 하나에 대응이 되고 이는 곧 그 실험으로부터 나올 수 있는 가능한 모든 sample function 중 하나이다.

Ensemble은 어느 한 실험으로부터 나올 수 있는 모든 가능한 시간 함수들의 집합이다.

\( t=t_0\)으로 두면 시간 \( t_0\)에서의 다른 outcome들 마다 랜덤변수가 하나씩 나오고 이에 대한 평균이 ensemble average이다.

Time average는 실험에서 나올 수 있는 sample space의 요소를 함수로 매핑했을 때의 그 함수에 대한 평균을 구하는 것이다.

 

결국 가로축으로는 같은 outcome, 다른 t에서의 랜덤변수의 집합이 되고

t를 특정 time으로 고정하여 세로축으로 보면 다른 outcome에 대한 랜덤변수의 집합이 된다.